【ナルホド・ザ・中学受験算数Vol.1】最大公約数と最小公倍数

こんにちは。中学受験算数プロ指導者のさんじゅつまんです。

今回からマイナビ家庭教師のニュースコラムに、「ナルホド・ザ・中学受験算数」と題して、親御さんが知っておくことで、現在、未来の受験生のお子さまに対して、ちょっぴり鼻が高くなれるような算数の内容をコンパクトにわかりやすくお伝えしていこうと思います。

１週間に一度くらいの配信になる予定ですが、どうぞお読みいただき、ご家庭でのお子様との算数スキンシップにご利用ください。

初回の今回は最大公約数と最小公倍数から元の２数をつかまえる方法を書くことにします。

【ナルホド・ザ・中学受験算数Vol.1】

今回は最大公約数と最小公倍数が与えられた２整数の求め方です。

[問題]２つの整数Ａ、Ｂがあり(Ａ＜Ｂ)、２数の最大公約数は６、最小公倍数は144です。２つの整数Ａ、Ｂを求めてください。解答は１組ではありません。

[考え方]２数の最大公約数が６だから、２数Ａ、Ｂは６の倍数です。

いま、Ａ、Ｂを最大公約数で割った商をＰ、Ｑとすると（Ｐ＜Ｑ）、写真に示した連除法の筆算より、６×Ｐ×Ｑが最小公倍数の144になるから、Ｐ×Ｑ＝144÷６＝24です。この式を満たす（Ｐ、Ｑ）の組は（１、24）（２、12）（４、６）（３、８）のいずれかですが、このうち（２、12）（４、６）は除外する必要があります。

なぜならもしＰ、Ｑがこれらの値をとると、写真に示した連除法において、６に続いて割り算が行えることになり、最大公約数が６ではなくなってしまうからです。つまりＰ、Ｑとして考えられる組は（１、24）（３、８）のどちらかです。＊このように２数が１以外の公約数を持たない関係を互いに素といいます。

Ａ、Ｂを６で割った値がＰ、Ｑだから、Ｐ、Ｑをそれぞれ６倍するとＡ、Ｂを求めることができます。

1.Ｐ、Ｑが（１、24）のとき、Ａ＝６×１＝６、Ｂ＝６×24＝144

2.Ｐ、Ｑが （３、８）のとき、Ａ＝６×３＝18、Ｂ＝６×８＝48となります。

[解答]２組の解答が考えられ、（Ａ、Ｂ）＝（６、144）（18、48）です。

[さんじゅつまんコメント]

本問は整数問題の入り口ですが、整数問題にはさまざまなパターンがあり、基本から応用問題まで出題側もいろいろ用意できるジャンルです。受験生側からするとラクできない内容でもあるでしょう。出てくるパターンをすべて暗記して解くような方針では限界があるので、よく見かける合成数（素数でない整数のこと）について、素因数分解の結果、約数の個数などをひととおり調べて整理し、各整数についてのウンチクを増やしておくとよいでしょう。

[お宝公式]２数Ａ、Ｂの最大公約数をＧ、最小公倍数をＬとすると、Ａ×Ｂ＝Ｇ×Ｌ

【著者プロフィール】さんじゅつまん（歌丸優一）

1965年東京都渋谷区生まれ。付属高〈学院〉経由の早稲田マン。名門進学塾学習指導会、四谷大塚を経て現在はフリー算数指導者、算数作家。生徒の心に染み込ませるユニークな算数トークに定評がある。

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